2.6. Нечеткая логика

Классическая логика по определению не может оперировать с нечетко очерченными понятиями, поскольку все высказывания в формальных логических системах могут иметь только два взаимоисключающих состояния: «истина» со значением истинности «1» и «ложь» со значением истинности «0». Одной из попыток уйти от двузначной бинарной логики для описания неопределенности было введение Лукашевичем трехзначной логики с третьим состоянием «возможно» со значением истинности «0,5». Введя в рассмотрение нечеткие множества, Заде предложил обобщить классическую бинарную логику на основе рассмотрения бесконечного множества значений истинности. В предложенном Заде варианте нечеткой логики множество значений истинности высказываний обобщается до интервала $\left[0;1\right]$, т.е. включает как частные случаи классическую бинарную логику и трехзначную логику Лукашевича. Такой подход позволяет рассматривать высказывания с различными значениями истинности и выполнять рассуждения с неопределенностью.

Нечеткое высказывание – это законченная мысль, об истинности или ложности которой можно судить только с некоторой степенью уверенности $\left[0;1\right]$: «возможно истинно», «возможно ложно» и т.п. Чем выше уверенность в истинности высказывания, тем ближе значение степени истинности к $1$. В предельных случаях $0$, если мы абсолютно уверены в ложности высказывания, и $1$, если мы абсолютно уверены в истинности высказывания, что соответствует классической бинарной логике. В нечеткой логике нечеткие высказывания обозначаются так же, как и нечеткие множества: $A,B,C\dots$. Введем нечеткое отображение $T\mathrm{:}\Omega \to \left[0;1\right]$, которое действует на множестве нечетких высказываний $\Omega \mathrm{=}\left\{A,B,C\dots \right\}$. В этом случае значение истинности высказывания $A\mathrm{\in }\Omega$ определяется как $T\left(A\right)\mathrm{\in }\left[0;1\right]$ и является количественной оценкой нечеткости, неопределенности, содержащейся в высказывании $A$.

Логическое отрицание нечеткого высказывания $A$ обозначается $\mathrm{\neg }A$ – это унарная (т.е. производимая над одним аргументом) логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «не $A$», «неверно, что $A$», значение истинности которого:

$T\left(\mathrm{\neg }A\right)\mathrm{=}1\mathrm{-}T\left(A\right)$.

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения нечеткого логического отрицания (нечеткого «НЕ»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

$T\left(\mathrm{\neg }A\right)\mathrm{=}\frac{1\mathrm{-}T\left(A\right)}{1+\mathit{\lambda T}\left(A\right)},\lambda >\mathrm{-}\mathrm{1,}$ – нечеткое $\lambda$-дополнение по Сугено;

$T\left(\mathrm{\neg }A\right)\mathrm{=}\sqrt[p]{1\mathrm{-}T\left(A\right)},p>\mathrm{0,}$ – нечеткое $p$-дополнение по Ягеру.

Логическая конъюнкция нечетких высказываний $A$ и $B$ обозначается $A\mathrm{\cap }B$ – это бинарная (т.е. производимая над двумя аргументами) логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием « $A$ и $B$», значение истинности которого:

$T\left(A\mathrm{\cap }B\right)\mathrm{=}\text{min}\left\{T\left(A\right);T\left(B\right)\right\}$.

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения логической конъюнкции (нечеткого «И»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

$T\left(A\mathrm{\cap }B\right)\mathrm{=}T\left(A\right)T\left(B\right)$ – в базисе Бандлера-Кохоута;

$T\left(A\mathrm{\cap }B\right)\mathrm{=}\text{max}\left\{T\left(A\right)+T\left(B\right)\mathrm{-}1;0\right\}$ – в базисе Лукашевича-Гилеса;

$T\left(A\mathrm{\cap }B\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}T\left(B\right),\text{при}T\left(A\right)\mathrm{=}1;\\ T\left(A\right),\text{при}T\left(B\right)\mathrm{=}1;\\ \mathrm{0,}\text{в остальных случаях;}\end{array}\right.$ – в базисе Вебера.

Логическая дизъюнкция нечетких высказываний $A$ и $B$ обозначается $A\mathrm{\cup }B$ – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием « $A$ или $B$», значение истинности которого:

$T\left(A\mathrm{\cup }B\right)\mathrm{=}\text{max}\left\{T\left(A\right);T\left(B\right)\right\}$.

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения логической дизъюнкции (нечеткого «ИЛИ»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

$T\left(A\mathrm{\cup }B\right)\mathrm{=}T\left(A\right)+T\left(B\right)\mathrm{-}T\left(A\right)T\left(B\right)$ – в базисе Бандлера-Кохоута;

$T\left(A\mathrm{\cup }B\right)\mathrm{=}\text{min}\left\{T\left(A\right)+T\left(B\right);1\right\}$ – в базисе Лукашевича-Гилеса;

$T\left(A\mathrm{\cup }B\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}T\left(B\right),\text{при}T\left(A\right)\mathrm{=}0;\\ T\left(A\right),\text{при}T\left(B\right)\mathrm{=}0;\\ \mathrm{1,}\text{в остальных случаях;}\end{array}\right.$– в базисе Вебера.

Нечеткая импликация нечетких высказываний $A$ и $B$ обозначается $A\mathrm{\supset }B$ – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «из $A$ следует $B$», «если $A$, то $B$», значение истинности которого:

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}\text{max}\left\{\text{min}\left\{T\left(A\right);T\left(B\right)\right\};1\mathrm{-}T\left(A\right)\right\}$.

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения нечеткой импликации, введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные определения нечеткой импликации, предложенные различными исследователями в области теории нечетких множеств:

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}\text{max}\left\{1\mathrm{-}T\left(A\right);T\left(B\right)\right\}$ – Гедель;

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}\text{min}\left\{T\left(A\right);T\left(B\right)\right\}$ – Мамдани;

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}\text{min}\left\{1;1\mathrm{-}T\left(A\right)+T\left(B\right)\right\}$ – Лукашевич;

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}\text{min}\left\{1;\frac{T\left(B\right)}{T\left(A\right)}\right\},T\left(A\right)>0$ – Гоген;

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}\text{min}\left\{T\left(A\right)+T\left(B\right);1\right\}$ – Лукашевич-Гилес;

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}T\left(A\right)T\left(B\right)$ – Бандлер-Кохоут;

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}\text{max}\left\{T\left(A\right)T\left(B\right);1\mathrm{-}T\left(A\right)\right\}$ – Вади;

$T\left(A\mathrm{\supset }B\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}T\left(A\right)\mathrm{\le }T\left(B\right);\\ T\left(B\right),T\left(A\right)>T\left(B\right);\end{array}\right.$ – Бауэр.

Общее число введенных определений нечеткой импликации не ограничивается приведенными выше. Большое количество работ по изучению различных вариантов нечеткой импликации обусловлено тем, что понятие нечеткой импликации является ключевым при нечетких выводах и принятии решений в нечетких условиях. Наибольшее применение при решении прикладных задач нечеткого управления находит нечеткая импликация Заде.

Нечеткая эквивалентность нечетких высказываний $A$ и $B$ обозначается $A\mathrm{\equiv }B$ – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием « $A$ эквивалентно $B$», значение истинности которого:

$T\left(A\mathrm{\equiv }B\right)\mathrm{=}\text{min}\left\{\text{max}\left\{T\left(\mathrm{\neg }A\right);T\left(B\right)\right\}\text{;max}\left\{T\left(A\right);T\left(\mathrm{\neg }B\right)\right\}\right\}$.

Так же, как в классической бинарной логике, в нечеткой логике с помощью рассмотренных выше логических связок можно формировать достаточно сложные логические высказывания.