2.5. Нечеткие числа, нечеткие отображения и нечеткие функции, принцип обобщения, арифметические операции над нечеткими числами.

Процесс управления в технических системах основывается на количественном представлении сигналов в рассматриваемой системе. Такое представление связано с рассмотрением нечетких отображений, нечетких функций, а также специальных нечетких множеств, которые задаются на множестве действительных чисел и служат аналогом обычных чисел, рассматриваемых в контексте четких (обычных) множеств.

С лингвистической точки зрения нечеткое число – это нечеткая величина, трактуемая как неточное, неопределенное числовое значение некоторой измеримой величины: например, «примерно три», «приблизительно семь» и т.п.

Нечеткая величина – это произвольное нечеткое множество $A\mathrm{=}\left\{{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{/}x\right\}$, $x\mathrm{\in }X$, заданное на множестве действительных чисел $X\mathrm{=}R$. Если в качестве универсального множества рассматривать подмножество неотрицательных действительных чисел $X\mathrm{=}{R}_{+}$, то получим неотрицательную нечеткую величину.

Нечеткий интервал – это нечеткая величина с выпуклой функцией принадлежности.

Нечеткое число – это нечеткая величина с выпуклой унимодальной функцией принадлежности. Другими словами, нечеткое число соответствует унимодальному выпуклому нечеткому множеству, заданному на универсальном множестве действительных чисел.

Нечеткий нуль – это нечеткое число с нулевым модальным значением.

Положительное (отрицательное) нечеткое число – это нечеткое число со строго положительным (отрицательным) носителем.

Поскольку нечеткие числа и интервалы представляют собой нечеткие множества, то для них справедливы все свойства и операции, введенные ранее для нечетких множеств..

Пусть $X$ и $Y$ – два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция $y\mathrm{=}f\left(x\right)$, определенная на множестве $X$ со значениями на множестве $Y$, если в силу некоторого закона $f$ каждому элементу $x\mathrm{\in }X$ соответствует элемент $y\mathrm{\in }Y$. Функцию $f$ называют отображением$f\mathrm{:}X\to Y$ множества $X$ на множество $Y$, а значение $f\left(x\right)\mathrm{\in }Y$, которое она принимает на элементе $x\mathrm{\in }X$, называют образом элемента $x$.

Пример.$X\mathrm{=}\left[0;1\right]$ – универсальное множество (бесконечное несчетное множество, представляющее подмножество действительных чисел, таких, для которых справедливо соотношение $0\mathrm{\le }x\mathrm{\le }1$ ). Отображение $y\mathrm{=}f\left(x\right)\mathrm{=}{x}^2$ ставит в соответствие любому элементу $x\mathrm{\in }X$ другой элемент $y\mathrm{\in }Y$. Множество образов точек $x\mathrm{\in }\left[0;1\right]$ представляют собой множество $Y$, которое также является конечным несчетным множеством, являющимся подмножеством действительных чисел. таких, для которых справедливо соотношение $0\mathrm{\le }y\mathrm{\le }1$. Следовательно при данном отображении $f\mathrm{:}X\to Y$ множество $X\mathrm{=}\left[0;1\right]$ отображается в множество $Y\mathrm{=}\left[0;1\right]$.

Пример.$X\mathrm{=}R$ – универсальное множество (бесконечное несчетное множество, представляющее множество действительных чисел). Отображение $y\mathrm{=}f\left(x\right)\mathrm{=}{x}^2$ ставит в соответствие любому элементу $x\mathrm{\in }X$ другой элемент $y\mathrm{\in }Y$. Множество образов точек $x\mathrm{\in }X$ представляют собой множество $Y$, которое также является бесконечным несчетным множеством, являющимся подмножеством действительных чисел $Y\mathrm{\subset }R$, таких, для которых справедливо соотношение $y\mathrm{\ge }0$. Следовательно при данном отображении $f\mathrm{:}X\to Y$ множество действительных чисел $X\mathrm{=}R$ отображается в множество действительных неотрицательных чисел $Y\mathrm{\subset }R$.

Образом множества $A\mathrm{\subset }X$ при отображении $X\stackrel{f}{\to }Y$ называют множество $f\left(A\right)\mathrm{\subset }Y$ тех элементов $Y$, которые являются образами элементов множества $A$.

Пример.$X$ – множество точек комплексной плоскости, $x\mathrm{\in }X$ – точки комплексной плоскости $X$. $A\mathrm{\subset }X$ – левая полуплоскость комплексной плоскости $X$, $y\mathrm{=}f\left(x\right)\mathrm{=}\frac{1+x}{1\mathrm{-}x}$ – закон отображения $f\mathrm{:}X\to Y$ (в конкретном примере – это всем известное билинейное преобразование), $Y$ – множество точек комплексной плоскости, $y\mathrm{\in }Y$ – точки комплексной плоскости $Y$, $f\left(A\right)\mathrm{\subset }Y$ – множество образов элементов множества $A$, $f\left(A\right)$ – образ множества $A\mathrm{\subset }X$, который в данном случае представляет круг единичного радиуса на комплексной плоскости $Y$.

Данное выше классическое определение отображения в теории нечетких множеств принято называть четким отображением, поскольку наряду с ним по аналогии можно ввести понятие нечеткого отображения или нечеткой функции.

Будем говорить, что имеется нечеткая функция $f$, определенная на четком множестве $X$ со значениями на четком множестве $Y$, если каждому элементу $x\mathrm{\in }X$ ставится в соответствие элемент $y\mathrm{\in }Y$ со степенью принадлежности ${\mu }_f\left(x,y\right)$. Такая нечеткая функция $f$ будет определять нечеткое отображение $f\mathrm{:}X\stackrel{H}{\to }Y$.

Нечеткую функцию $f$, суть нечеткое отображение $f\mathrm{:}X\stackrel{H}{\to }Y$ можно задать либо аналитически ${\mu }_f\left(x,y\right)$, либо путем табличного определения двуместной функции принадлежности

${\mu }_f\left(x,y\right)\mathrm{=}\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{\mu }_{\text{11}}\mathrm{/}\left(x_1;y_1\right)& \mathrm{\cdots }& {\mu }_{\mathrm{1n}}\mathrm{/}\left(x_1;y_n\right)\\ {\mu }_{\text{21}}\mathrm{/}\left(x_2;y_1\right)& \mathrm{\cdots }& {\mu }_{\mathrm{2n}}\mathrm{/}\left(x_2;y_n\right)\end{array}\\ \begin{array}{c}\mathrm{\cdots }\\ \begin{array}{ccc}{\mu }_{\mathit{n1}}\mathrm{/}\left(x_m;y_1\right)& \mathrm{\cdots }& {\mu }_{\text{mn}}\mathrm{/}\left(x_m;y_n\right)\end{array}\end{array}\end{array}\right]$.

Пример. На множествах $X\mathrm{=}\left\{1;2;3\right\}$ и $Y\mathrm{=}\left\{1;5\right\}$ задано нечеткое отображение $f\mathrm{:}X\to Y$ посредством нечеткой функции

${\mu }_f\left(x,y\right)\mathrm{=}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}\mathrm{/}\left(1;1\right)& \mathrm{0,4}\mathrm{/}\left(1;5\right)\\ \mathrm{0,7}\mathrm{/}\left(2;1\right)& 1\mathrm{/}\left(2;5\right)\\ 1\mathrm{/}\left(3;1\right)& \mathrm{0,5}\mathrm{/}\left(3;5\right)\end{array}\right]$

Пример. Для множеств действительных чисел $X,Y\mathrm{\in }Z$ задано нечеткое отображение $f\mathrm{:}X\stackrel{H}{\to }Y$ в виде аналитической функции принадлежности

.

Обычной функции $f$, суть четкому отображению $f\mathrm{:}X\to Y$ также можно поставить в соответствие табличную двуместную функцию принадлежности, где значения уровня принадлежности ${\mu }_{\text{ij}}$ определяются исходя из истинности равенства

$y\mathrm{=}f\left(x\right)$, т.е. ${\mu }_{\text{ij}}\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}\text{при}{y}_j\mathrm{=}f\left(x_i\right),\\ \mathrm{0,}\text{при}{y}_j\mathrm{\ne }f\left(x_i\right)\text{.}\end{array}\right.$

Пример. Четкому отображению $f\mathrm{:}X\to Y$, определенному функцией принадлежности $y\mathrm{=}{x}^2$ на множестве натуральных чисел $x\mathrm{\in }N$ соответствует табличная двуместная функция принадлежности:

${\mu }_f\left(x,y\right)\mathrm{=}{\mu }_f\left(x_i,y_j\right)\mathrm{=}\left[\begin{array}{ccccc}1\mathrm{/}\left(1;1\right)& 0\mathrm{/}\left(1;2\right)& 0\mathrm{/}\left(1;3\right)& 0\mathrm{/}\left(1;4\right)& \mathrm{\cdots }\\ 0\mathrm{/}\left(2;1\right)& 0\mathrm{/}\left(2;2\right)& 0\mathrm{/}\left(2;3\right)& 1\mathrm{/}\left(2;4\right)& \mathrm{\cdots }\\ 0\mathrm{/}\left(3;1\right)& 0\mathrm{/}\left(3;2\right)& 0\mathrm{/}\left(3;3\right)& 0\mathrm{/}\left(3;4\right)& \mathrm{\cdots }\\ 0\mathrm{/}\left(4;1\right)& 0\mathrm{/}\left(4;2\right)& 0\mathrm{/}\left(4;3\right)& 0\mathrm{/}\left(4;4\right)& \mathrm{\cdots }\\ \dots & \mathrm{\cdots }& \dots & \mathrm{\cdots }& \mathrm{\cdots }\end{array}\right]$

Принцип обобщения распространяет понятие «отображение» математического анализа и соответственно математические операции типа сложения, вычитания, умножения, деления и др. на описываемые нечеткими множествами нечеткие числа, Введение принципа обобщения дает возможность, оперируя нечеткими числами, решать при наличии лингвистически заданной неопределенности традиционные задачи теории управления: идентификации, фильтрации, прогнозирования и т.д.Классическое определение принципа обобщения, введенное Заде, выглядит следующим образом.

Согласно принципу обобщения, при заданном четком $f\mathrm{:}X\to Y$ или нечетком $f\mathrm{:}X\stackrel{H}{\to }Y$ отображении для любого нечеткого множества $A\mathrm{=}\left\{{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{/}x\right\}$, заданного на универсальном множестве $X$, можно определить на универсальном множестве $Y$ нечеткое множество $f\left(A\right)$, являющееся образом нечеткого множества $A$, в соответствии со следующим правилом: при четком отображении: ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}{\mu }_A\left(x\right)$, $y\mathrm{\in }Y$; при нечетком отображении: ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y\right)\right\}$.

Процедура построения множества $f\left(A\right)$, суть поиск функции принадлежности ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)$, где нечеткое множество $A$ задано на универсальном множестве $X$ заключается в следующем. Произвольно фиксируется элемент $y_0\mathrm{\in }Y$. В этом случае функция ${\mu }_f\left(x,y_0\right)$ есть проекция функции нечеткого отображения, а искомая функция принадлежности результирующего нечеткого множества $f\left(A\right)$ является минимаксом этой проекции и функции принадлежности исходного нечеткого множества $A$. Таким образом, функция ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)$ является результатом решения параметрической экстремальной задачи ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y\right)\right\}$, в которой в качестве параметра выступает переменная $y$.

В частности, если функция $f$ задает обычное четкое отображение $f\mathrm{:}X\to Y$ множества $X$ на множество $Y$, т.е.

${\mu }_f\left(x,y\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}\text{при}y\mathrm{=}f\left(x\right),\\ \mathrm{0,}\text{при}y\mathrm{\ne }f\left(x\right),\end{array}\right.$

то из общего определения принципа обобщения, данного в свое время еще Заде: ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y\right)\right\}$, следует уже приведенная выше формула для поиска функции принадлежности при четком отображении нечеткого множества ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}{\mu }_A\left(x\right)$.

Пример. Пусть нечетким множеством $A\mathrm{=}\mathrm{0,6}\mathrm{/}1+1\mathrm{/}2+\mathrm{0,8}\mathrm{/}3$ задано нечеткое число «примерно два» и четкое отображение $y\mathrm{=}f\left(x\right)\mathrm{=}{x}^2$. Если возвести заданное нечетким множеством $A$ нечеткое число «примерно два» в квадрат, то получим другое нечеткое множество $f\left(A\right)\mathrm{=}\mathrm{0,6}\mathrm{/}1+1\mathrm{/}4+\mathrm{0,8}\mathrm{/}9$, соответствующее новому нечеткому числу «примерно два в квадрате». Точки функции принадлежности ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}{\mu }_A\left(x\right)$ вычисляются как:

$x\mathrm{=}{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)\mathrm{=}\mathrm{\pm }\sqrt{y}$,

$x_1\mathrm{=}1\mathrm{\Rightarrow }\sqrt{y_1}\mathrm{=}\mathrm{\pm }1\mathrm{\Rightarrow }{y}_1\mathrm{=}1$, ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y_1\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}{\mu }_A\left(x_1\right)\mathrm{=}\mathrm{0,6}$,

$x_1\mathrm{=}1\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{\pm }\sqrt{y_1}\mathrm{=}1\mathrm{\Rightarrow }{y}_1\mathrm{=}1$, ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y_2\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}{\mu }_A\left(x_2\right)\mathrm{=}1$,

$x_3\mathrm{=}1\mathrm{\Rightarrow }\sqrt{y_3}\mathrm{=}\mathrm{\pm }3\mathrm{\Rightarrow }{y}_3\mathrm{=}9$, ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y_3\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}{\mu }_A\left(x_3\right)\mathrm{=}\mathrm{0,8}$.

Пример. Пусть нечеткое множество $A$ задано функцией принадлежности ${\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}{e}^{\mathrm{-}{x}^2}$. Тогда при четком отображении $y\mathrm{=}f\left(x\right)\mathrm{=}{x}^2$ имеем $x\mathrm{=}{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)\mathrm{=}\mathrm{\pm }\sqrt{y},y\mathrm{\ge }0$:

${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}\mathrm{\{}\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{-}{\left(\mathrm{\pm }\sqrt{y}\right)}^2},y\mathrm{\ge }\mathrm{0,}\\ \mathrm{0,}y<\mathrm{0,}\end{array}\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{-}{\left(\mathrm{\pm }\sqrt{y}\right)}^2},y\mathrm{\ge }\mathrm{0,}\\ \mathrm{0,}y<\mathrm{0,}\end{array}\right.\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{-}{y}^2},y\mathrm{\ge }\mathrm{0,}\\ \mathrm{0,}y<0\text{.}\end{array}\right.$

Пример. Пусть нечеткое множество $A$ задано функцией принадлежности ${\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}{e}^{\mathrm{-}{x}^2}$. Тогда при четком отображении $y\mathrm{=}f\left(x\right)\mathrm{=}{e}^x$ имеем $x\mathrm{=}{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)\mathrm{=}\text{ln}y,y>0$ (см.рис.2.14):

${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }{f}^{\mathrm{-}1}\left(y\right)}{\text{sup}}\mathrm{\{}\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{-}{\left(\text{ln}y\right)}^2},y>\mathrm{0,}\\ \mathrm{0,}y\mathrm{\le }\mathrm{0,}\end{array}\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{-}{\left(\text{ln}y\right)}^2},y>\mathrm{0,}\\ \mathrm{0,}y\mathrm{\le }\mathrm{0,}\end{array}\right.\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}{y}^{\mathrm{-}\text{ln}y},y>\mathrm{0,}\\ \mathrm{0,}y\mathrm{\le }0\text{.}\end{array}\right.$

Пример. Пусть нечетким множеством $A\mathrm{=}\mathrm{0,1}\mathrm{/}{x}_1+\mathrm{0,7}\mathrm{/}{x}_2+1\mathrm{/}{x}_3+\mathrm{0,6}\mathrm{/}{x}_4$ задано нечеткое число. Задана нечеткая функция $f$ (нечеткое отображение) посредством определения двуместной функции принадлежности:

${\mu }_f\left(x,y\right)\mathrm{=}\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{0,2}\mathrm{/}\left(x_1,y_1\right)& \mathrm{0,7}\mathrm{/}\left(x_1,y_2\right)& \mathrm{0,8}\mathrm{/}\left(x_1,y_3\right)& \mathrm{0,5}\mathrm{/}\left(x_1,y_4\right)\\ \mathrm{0,7}\mathrm{/}\left(x_2,y_1\right)& \mathrm{0,4}\mathrm{/}\left(x_2,y_2\right)& \mathrm{0,9}\mathrm{/}\left(x_2,y_3\right)& \mathrm{0,3}\mathrm{/}\left(x_2,y_4\right)\\ \mathrm{0,8}\mathrm{/}\left(x_3,y_1\right)& \mathrm{0,3}\mathrm{/}\left(x_3,y_2\right)& \mathrm{0,5}\mathrm{/}\left(x_3,y_3\right)& 1\mathrm{/}\left(x_3,y_4\right)\\ \mathrm{0,5}\mathrm{/}\left(x_4,y_1\right)& 1\mathrm{/}\left(x_4,y_2\right)& \mathrm{0,3}\mathrm{/}\left(x_4,y_3\right)& \mathrm{0,8}\mathrm{/}\left(x_4,y_4\right)\end{array}\right]$.

Для $x_1$ множества $A$ и каждого $y_i$ функции отображения :

$\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x_1\right);{\mu }_f\left(x_1,y_1\right)\right\}\mathrm{/}{y}_1\mathrm{=}\text{min}\left\{\mathrm{0,1};\mathrm{0,2}\right\}\mathrm{/}{y}_1\mathrm{=}\mathrm{0,1}\mathrm{/}{y}_1$, $\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x_1\right);{\mu }_f\left(x_1,y_2\right)\right\}\mathrm{/}{y}_2\mathrm{=}\text{min}\left\{\mathrm{0,1};\mathrm{0,7}\right\}\mathrm{/}{y}_2\mathrm{=}\mathrm{0,1}\mathrm{/}{y}_2$,

$\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x_1\right);{\mu }_f\left(x_1,y_3\right)\right\}\mathrm{/}{y}_3\mathrm{=}\text{min}\left\{\mathrm{0,1};\mathrm{0,8}\right\}\mathrm{/}{y}_3\mathrm{=}\mathrm{0,1}\mathrm{/}{y}_3$, $\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x_1\right);{\mu }_f\left(x_1,y_4\right)\right\}\mathrm{/}{y}_4\mathrm{=}\text{min}\left\{\mathrm{0,1};\mathrm{0,5}\right\}\mathrm{/}{y}_1\mathrm{=}\mathrm{0,1}\mathrm{/}{y}_4$,

$\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x_2\right);{\mu }_f\left(x_2,y\right)\right\}\mathrm{/}y\mathrm{=}\left\{\mathrm{0,1}\mathrm{/}{y}_1;\mathrm{0,1}\mathrm{/}{y}_2;\mathrm{0,1}\mathrm{/}{y}_3;\mathrm{0,1}\mathrm{/}{y}_4\right\}$.

Для $x_2$ множества $A$ и каждого ${\mu }_f\left(x_2,y_i\right)$ аналогично получаем:

$\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x_2\right);{\mu }_f\left(x_2,y\right)\right\}\mathrm{/}y\mathrm{=}\left\{\mathrm{0,7}\mathrm{/}{y}_1;\mathrm{0,4}\mathrm{/}{y}_2;\mathrm{0,7}\mathrm{/}{y}_3;\mathrm{0,3}\mathrm{/}{y}_4\right\}$.

Для $x_3$ множества $A$ и каждого ${\mu }_f\left(x_3,y_i\right)$ аналогично получаем:

$\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x_3\right);{\mu }_f\left(x_3,y\right)\right\}\mathrm{/}y\mathrm{=}\left\{\mathrm{0,8}\mathrm{/}{y}_1;\mathrm{0,3}\mathrm{/}{y}_2;\mathrm{0,5}\mathrm{/}{y}_3;1\mathrm{/}{y}_4\right\}$.

Для $x_4$ множества $A$ и каждого ${\mu }_f\left(x_4,y_i\right)$ аналогично получаем:

$\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x_4\right);{\mu }_f\left(x_4,y\right)\right\}\mathrm{/}y\mathrm{=}\left\{\mathrm{0,5}\mathrm{/}{y}_1;\mathrm{0,6}\mathrm{/}{y}_2;\mathrm{0,3}\mathrm{/}{y}_3;\mathrm{0,6}\mathrm{/}{y}_4\right\}$.

Для всех множеств точек нечеткого отображения по каждому $y_i$ ищем верхние границы и получаем:

${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y_1\right)\mathrm{/}{y}_1\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y_1\right)\right\}\mathrm{/}{y}_1\mathrm{=}\text{sup}\left\{\mathrm{0,1};\mathrm{0,7};\mathrm{0,8};\mathrm{0,5}\right\}\mathrm{/}{y}_1\mathrm{=}\mathrm{0,8}\mathrm{/}{y}_1$,

${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y_2\right)\mathrm{/}{y}_2\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y_2\right)\right\}\mathrm{/}{y}_2\mathrm{=}\text{sup}\left\{\mathrm{0,1};\mathrm{0,4};\mathrm{0,3};\mathrm{0,6}\right\}\mathrm{/}{y}_2\mathrm{=}\mathrm{0,6}\mathrm{/}{y}_2$,

${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y_3\right)\mathrm{/}{y}_3\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y_3\right)\right\}\mathrm{/}{y}_3\mathrm{=}\text{sup}\left\{\mathrm{0,1};\mathrm{0,7};\mathrm{0,5};\mathrm{0,3}\right\}\mathrm{/}{y}_3\mathrm{=}\mathrm{0,7}\mathrm{/}{y}_3$,

${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y_1\right)\mathrm{/}{y}_4\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y_4\right)\right\}\mathrm{/}{y}_4\mathrm{=}\text{sup}\left\{\mathrm{0,1};\mathrm{0,3};1;\mathrm{0,6}\right\}\mathrm{/}{y}_4\mathrm{=}1\mathrm{/}{y}_4$,

${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{/}y\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y\right)\right\}\mathrm{/}y\mathrm{=}\left\{\mathrm{0,8}\mathrm{/}{y}_1;\mathrm{0,6}\mathrm{/}{y}_2;\mathrm{0,7}\mathrm{/}{y}_3;1\mathrm{/}{y}_4\right\}$.

Пример. Пусть нечеткое множество $A$ задано функцией принадлежности ${\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}{e}^{\mathrm{-}{x}^2}$ и задана нечеткая функция $f$(нечеткое отображение) . Из уравнения ${\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}{\mu }_f\left(x,y\right)$ выразим функцию $x\mathrm{=}\varphi \left(y\right)\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{y^2+\text{ln}2}{\mathrm{2y}}$. Подставив $x\mathrm{=}\varphi \left(y\right)$ в ${\mu }_A\left(x\right)$ или в ${\mu }_f\left(x,y\right)$, получим (см.рис.2.15).

Введенный ранее принцип обобщения позволяет ввести для нечетких чисел арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления [18], [26]. Пусть $A$ и $B$ – нечеткие числа с функциями принадлежности ${\mu }_A\left(a\right)$, ${\mu }_B\left(b\right)$, $g\left(A,B\right)\mathrm{=}{\left(A\diamond B\right)}_{\text{ar}}$ – некоторая арифметическая функция, $\diamond$– одна из четырех арифметических операций: $\left\{\begin{array}{cccc}+& \mathrm{-}& & \end{array}\right\}$, $\text{ar}$ – индекс, указывающий на то, что над нечеткими числами производится арифметическая операция (вводится во избежание путаницы с аналогичным обозначением алгебраических операций с нечеткими числами). Тогда согласно принципу обобщения нечеткое число $D\mathrm{=}{\left(A\diamond B\right)}_{\text{ar}}\mathrm{=}g\left(A,B\right)$ определяется функцией принадлежности

${\mu }_D\left(x\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{=}g\left(A,B\right)}{\text{sup}}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(a\right);{\mu }_B\left(b\right)\right\}$.

Пример. Заданы два нечетких числа: $A\mathrm{=}\mathrm{0,1}\mathrm{/}1+1\mathrm{/}2+\mathrm{0,2}\mathrm{/}3$ – «вероятно два»; $B\mathrm{=}\mathrm{0,2}\mathrm{/}2+\mathrm{0,5}\mathrm{/}3+1\mathrm{/}4+\mathrm{0,4}\mathrm{/}5+\mathrm{0,1}\mathrm{/}6$ – «наверное четыре». Согласно принципу обобщения попарно над всеми элементами каждого из множеств проводится соответствующая арифметическая операция, при этом оставляется наименьшая из степеней принадлежности каждой пары аргументов (рис.2.16). Далее для всех одинаковых результатов алгебраической операции, полученных при их парном выполнении, выбирается наибольшая из степеней принадлежности каждого из массива равных аргументов.

Посчитаем результат операции «вероятно два»+«наверное четыре» или ${\left(A+B\right)}_{\text{ar}}$:

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{0,1}\mathrm{/}3& \mathrm{0,1}\mathrm{/}4& \mathrm{0,1}\mathrm{/}5& \mathrm{0,1}\mathrm{/}6& \mathrm{0,1}\mathrm{/}7& & \\ & \mathrm{0,2}\mathrm{/}4& \mathrm{0,5}\mathrm{/}5& 1\mathrm{/}6& \mathrm{0,4}\mathrm{/}7& \mathrm{0,1}\mathrm{/}8& \\ & & \mathrm{0,2}\mathrm{/}5& \mathrm{0,2}\mathrm{/}6& \mathrm{0,2}\mathrm{/}7& \mathrm{0,2}\mathrm{/}8& \mathrm{0,1}\mathrm{/}9\end{array}$,

${\left(A+B\right)}_{\text{ar}}\mathrm{=}\mathrm{0,1}\mathrm{/}3+\mathrm{0,2}\mathrm{/}4+\mathrm{0,5}\mathrm{/}5+1\mathrm{/}6+\mathrm{0,4}\mathrm{/}7+\mathrm{0,2}\mathrm{/}8+\mathrm{0,1}\mathrm{/}9$.

Посчитаем результат операции «вероятно два»-«наверное четыре» или ${\left(A\mathrm{-}B\right)}_{\text{ar}}$:

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{0,1}\mathrm{/}3& \mathrm{0,1}\mathrm{/}4& \mathrm{0,1}\mathrm{/}5& \mathrm{0,1}\mathrm{/}6& \mathrm{0,1}\mathrm{/}7& & \\ & \mathrm{0,2}\mathrm{/}4& \mathrm{0,5}\mathrm{/}5& 1\mathrm{/}6& \mathrm{0,4}\mathrm{/}7& \mathrm{0,1}\mathrm{/}8& \\ & & \mathrm{0,2}\mathrm{/}5& \mathrm{0,2}\mathrm{/}6& \mathrm{0,2}\mathrm{/}7& \mathrm{0,2}\mathrm{/}8& \mathrm{0,1}\mathrm{/}9\end{array}$,

${\left(A\mathrm{-}B\right)}_{\text{ar}}\mathrm{=}\left(\mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{-}5\right)+\left(\mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{-}4\right)+\left(\mathrm{0,4}\mathrm{/}\mathrm{-}3\right)+\left(1\mathrm{/}\mathrm{-}2\right)+\left(\mathrm{0,5}\mathrm{/}\mathrm{-}1\right)+\left(\mathrm{0,2}\mathrm{/}0\right)+\left(\mathrm{0,2}\mathrm{/}1\right)$.

Посчитаем результат операции «вероятно два»*«наверное четыре» или ${\left(A\mathrm{\ast }B\right)}_{\text{ar}}$:

$\begin{array}{ccccccccccc}\mathrm{0,1}\mathrm{/}2& \mathrm{0,1}\mathrm{/}3& \mathrm{0,1}\mathrm{/}4& \mathrm{0,1}\mathrm{/}5& \mathrm{0,1}\mathrm{/}6& & & & & & \\ & & \mathrm{0,2}\mathrm{/}4& & \mathrm{0,5}\mathrm{/}6& 1\mathrm{/}8& & \mathrm{0,4}\mathrm{/}\text{10}& \mathrm{0,1}\mathrm{/}\text{12}& & \\ & & & & \mathrm{0,2}\mathrm{/}6& & \mathrm{0,2}\mathrm{/}9& & \mathrm{0,2}\mathrm{/}\text{12}& \mathrm{0,2}\mathrm{/}\text{15}& \mathrm{0,1}\mathrm{/}\text{18}\end{array}$,

${\left(A\mathrm{\ast }B\right)}_{\text{ar}}\mathrm{=}\mathrm{0,1}\mathrm{/}2+\mathrm{0,1}\mathrm{/}3+\mathrm{0,2}\mathrm{/}4+\mathrm{0,1}\mathrm{/}5+\mathrm{0,5}\mathrm{/}6+1\mathrm{/}8+\mathrm{0,2}\mathrm{/}9+\mathrm{0,4}\mathrm{/}\text{10}+\mathrm{0,2}\mathrm{/}\text{12}+\mathrm{0,2}\mathrm{/}\text{15}+\mathrm{0,1}\mathrm{/}\text{18}$.

Посчитаем результат операции «вероятно два»/«наверное четыре» или ${\left(A\mathrm{/}B\right)}_{\text{ar}}$:

$\begin{array}{ccccccccccc}& & & & & \mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,5}& & \mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,}\left(3\right)& \mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,}\text{25}& \mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,1}\left(6\right)\\ & \mathrm{0,2}\mathrm{/}1& & \mathrm{0,5}\mathrm{/}\mathrm{0,}\left(6\right)& & 1\mathrm{/}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,4}\mathrm{/}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,}\left(3\right)& & & \\ \mathrm{0,2}\mathrm{/}\mathrm{1,5}& \mathrm{0,2}\mathrm{/}1& \mathrm{0,2}\mathrm{/}\mathrm{0,}\text{75}& & \mathrm{0,2}\mathrm{/}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,5}& & & & & \end{array}$,

${\left(A\mathrm{\ast }B\right)}_{\text{ar}}\mathrm{=}\mathrm{0,2}\mathrm{/}\mathrm{1,5}+\mathrm{0,2}\mathrm{/}1+\mathrm{0,2}\mathrm{/}\mathrm{0,}\text{75}+\mathrm{0,5}\mathrm{/}\mathrm{0,}\left(6\right)+\mathrm{0,2}\mathrm{/}\mathrm{0,6}+1\mathrm{/}\mathrm{0,5}+\mathrm{0,4}\mathrm{/}\mathrm{0,4}+\mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,}\left(3\right)+\mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,}\text{25}+\mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1}\mathrm{/}\mathrm{0,1}\left(6\right)$.

Как видно из вышеприведенных примеров, в общем случае функция принадлежности нечеткого числа может и не иметь аналитического представления. Поэтому для облегчения вычислений при проведении арифметических операций с нечеткими числами удобно использовать аналитическое представление нечетких чисел с помощью (L-R)-отображений. (L-R)-отображение – это пара отображений $L,R\mathrm{:}\left(\mathrm{-}\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)\to \left[0;1\right]$, где $L\left(x\right)$, $R\left(x\right)$ – две функции, заданные на множестве действительных чисел, с областью значений $\left[0;1\right]$, невозрастающие на подмножестве неотрицательных чисел и удовлетворяющие следующим условиям: $L\left(\mathrm{-}x\right)\mathrm{=}L\left(x\right)$, $R\left(\mathrm{-}x\right)\mathrm{=}R\left(x\right)$, $L\left(0\right)\mathrm{=}R\left(0\right)\mathrm{=}1$. Наиболее часто для составления пары функций $L\left(x\right)$, $R\left(x\right)$ используются следующие аналитические функции, удовлетворяющие вышеперечисленным требованиям: треугольная функция принадлежности $\text{trimf}\left(x,a,b,c\right)$ при $b\mathrm{=}0$, $a\mathrm{=}\mathrm{-}c$; трапецеидальная функция принадлежности $\text{trapmf}\left(x,a,b,c,d\right)$ при $a\mathrm{=}\mathrm{-}d$, $c\mathrm{=}\mathrm{-}b$; функция $f\left(x\right)\mathrm{=}{e}^{\mathrm{-}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}^2}$; функция $f\left(x\right)\mathrm{=}\frac{1}{1+{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}^2}$.

Нечеткое число (L-R)-типа – это нечеткая величина $A\mathrm{=}\left\{{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{/}x\right\}$ с функцией принадлежности в виде композиции функций L-R отображения:

${\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}L\left(\frac{a\mathrm{-}x}{\alpha }\right),x\mathrm{\le }a;\\ R\left(\frac{x\mathrm{-}a}{\beta }\right),x\mathrm{\ge }a;\end{array}\right.$

где $\alpha >0$, $\beta >0$. Параметр $a$ является модой (модальным значением) нечеткого числа, параметры $\alpha$, $\beta$– левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно, определяющие конкретный вид функции принадлежности $L\left(x\right)$ слева от моды $a$ и $R\left(x\right)$ справа от моды $a$ (откуда и название Left-Right). Нечеткое число (L-R)-типа $A\mathrm{=}\left\{{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{/}x\right\}$ с функцией принадлежности ${\mu }_A\left(x\right)$ при фиксированных функциях $L\left(x\right)$, $R\left(x\right)$ полностью определяется тройкой параметров $\mathrm{\langle }a,\alpha ,\beta \mathrm{\rangle }$, что существенно упрощает арифметические операции с подобными числами.

Нечеткое число $\mathrm{\langle }a,\alpha ,\beta \mathrm{\rangle }$задается при помощи треугольных функций принадлежности следующим образом:

${\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}\text{trimf}\left(x,a\mathrm{-}\alpha ,a,a+\alpha \right),x\mathrm{\le }a;\\ \text{trimf}\left(x,a\mathrm{-}\beta ,a,a+\beta \right),x\mathrm{\ge }a\text{.}\end{array}\right.$

При определении в соответствии с принципом обобщения арифметических операций над (L-R)-числами $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$ следует исходить из того, что и исходные нечеткие числа $A_1$, $A_2$, и результат операции $A_3\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }$ определяются одним и тем же (L-R)-отображением.

Сложение нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }+\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1+a_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_1+{\beta }_2\mathrm{\rangle }$.

Вычитание нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }\mathrm{-}\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1\mathrm{-}{a}_2,{\alpha }_1+{\beta }_2,{\beta }_1+{\alpha }_2\mathrm{\rangle }$.

Умножение положительных нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }\mathrm{\cdot }\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1{a}_2,a_1{\alpha }_2+a_2{\alpha }_1,a_1{\beta }_2+a_2{\beta }_1\mathrm{\rangle }$.

Умножение отрицательного $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и положительного $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$ нечетких чисел:

$\mathrm{\langle }{a}_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }\mathrm{\cdot }\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1{a}_2,a_2{\alpha }_1\mathrm{-}{a}_1{\beta }_2,a_2{\beta }_1\mathrm{-}{a}_1{\alpha }_2\mathrm{\rangle }$.

Умножение отрицательных нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }\mathrm{\cdot }\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1{a}_2,\mathrm{-}{a}_2{\beta }_1\mathrm{-}{a}_1{\beta }_2,\mathrm{-}{a}_2{\alpha }_1\mathrm{-}{a}_1{\alpha }_2\mathrm{\rangle }$.

Деление положительных нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\frac{\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }}{\mathrm{\langle }{a}_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }}\mathrm{=}\mathrm{\langle }\frac{a_1}{a_2},\frac{a_1{\beta }_2+a_2{\alpha }_1}{a_2^2},\frac{a_1{\alpha }_2+a_2{\beta }_1}{a_2^2}\mathrm{\rangle }$.

Частный случай – обратное значение положительного нечеткого числа

$\frac{1}{\mathrm{\langle }{a}_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }}\mathrm{=}\mathrm{\langle }\frac{1}{a_1},\frac{{\beta }_1}{a_1^2},\frac{{\alpha }_1}{a_2^2}\mathrm{\rangle }$.

Нечеткий интервал (L-R)-типа – это нечеткая величина $A\mathrm{=}\left\{{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{/}x\right\}$ с функцией принадлежности в виде композиции функций L-R отображения:

${\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}L\left(\frac{a\mathrm{-}x}{\alpha }\right),x\mathrm{\le }a;\\ \mathrm{1,}a<x<b;\\ R\left(\frac{x\mathrm{-}b}{\beta }\right),x\mathrm{\ge }b;\end{array}\right.$

где $\alpha >0$, $\beta >0$. Параметры $a$ и $b$ определяют ядро нечеткого интервала, параметры $\alpha$, $\beta$– как и в случае нечеткого числа левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно. Нечеткий интервал (L-R)-типа иногда называют толерантным нечетким числом (L-R)-типа. Нечеткий интервал (L-R)-типа $A\mathrm{=}\left\{{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{/}x\right\}$ с функцией принадлежности ${\mu }_A\left(x\right)$ при фиксированных функциях $L\left(x\right)$, $R\left(x\right)$ полностью определяется четверкой параметров $\mathrm{\langle }a,b,\alpha ,\beta \mathrm{\rangle }$, что существенно упрощает арифметические операции с подобными числами.

Толерантное нечеткое число $\mathrm{\langle }a,b,\alpha ,\beta \mathrm{\rangle }$задается при помощи треугольных функций принадлежности следующим образом:

${\mu }_A\left(x\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{c}\text{trimf}\left(x,a\mathrm{-}\alpha ,a,a+\alpha \right),x\mathrm{\le }a;\\ 1;a<x<b;\\ \text{trimf}\left(x,b\mathrm{-}\beta ,b,b+\beta \right),x\mathrm{\ge }b\text{.}\end{array}\right.$

При определении в соответствии с принципом обобщения арифметических операций над толерантными (L-R)-числами $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$ следует исходить из того, что и исходные толерантные нечеткие числа $A_1$, $A_2$, и результат операции, толерантное нечеткое число $A_3\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_3,b_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }$ определяются одним и тем же (L-R)-отображением, заданным при помощи треугольных или трапецеидальных функций принадлежности.

Сложение толерантных нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,b_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }+\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1+a_2,b_1+b_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_1+{\beta }_2\mathrm{\rangle }$.

Вычитание толерантных нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,b_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }\mathrm{-}\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1\mathrm{-}{a}_2,b_1\mathrm{-}{b}_2,{\alpha }_1+{\beta }_2,{\beta }_1+{\alpha }_2\mathrm{\rangle }$.

Умножение положительных толерантных нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,b_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }\mathrm{\cdot }\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1{a}_2,b_1{b}_2,a_1{\alpha }_2+a_2{\alpha }_1,b_1{\beta }_2+b_2{\beta }_1\mathrm{\rangle }$.

Деление положительных нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,b_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\frac{\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }}{\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }}\mathrm{=}\mathrm{\langle }\frac{a_1}{b_2},\frac{b_1}{a_2},\frac{a_1{\beta }_2+b_2{\alpha }_1}{b_2^2},\frac{b_1{\alpha }_2+a_2{\beta }_1}{a_2^2}\mathrm{\rangle }$.

Расширенный минимум нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,b_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\text{min}\left\{\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle };\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\right\}\mathrm{=}$

$\mathrm{=}\mathrm{\langle }\text{min}\left\{a_1;a_2\right\}\text{,min}\left\{b_1;b_2\right\},a_3\mathrm{-}\text{min}\left\{a_1\mathrm{-}{\alpha }_1;a_2\mathrm{-}{\alpha }_2\right\}\text{,min}\left\{b_1+{\beta }_1;b_2+{\beta }_2\right\}\mathrm{-}{b}_3\mathrm{\rangle }$.

Расширенный максимум нечетких чисел $A_1\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle }$ и $A_2\mathrm{=}\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }$:

$\mathrm{\langle }{a}_3,b_3,{\alpha }_3,{\beta }_3\mathrm{\rangle }\mathrm{=}\text{max}\left\{\mathrm{\langle }{a}_1,b_1,{\alpha }_1,{\beta }_1\mathrm{\rangle };\mathrm{\langle }{a}_2,b_2,{\alpha }_2,{\beta }_2\mathrm{\rangle }\right\}\mathrm{=}$

$\mathrm{=}\mathrm{\langle }\text{max}\left\{a_1;a_2\right\}\text{,max}\left\{b_1;b_2\right\},a_3\mathrm{-}\text{max}\left\{a_1\mathrm{-}{\alpha }_1;a_2\mathrm{-}{\alpha }_2\right\}\text{,max}\left\{b_1+{\beta }_1;b_2+{\beta }_2\right\}\mathrm{-}{b}_3\mathrm{\rangle }$.

Логичным продолжением введенных выше понятий нечетких функций и нечетких чисел является концепция нечеткой и лингвистической переменных, которая широко используется в нечетком управлении.

Нечеткая переменная определяется кортежем параметров $\mathrm{\langle }\alpha ,X,A\mathrm{\rangle }$, где $\alpha$ - название нечеткой переменной, $X$ – область определения нечеткой переменной, $A\mathrm{=}\left\{{\mu }_A\left(x\right)\mathrm{/}x\right\}$, $x\mathrm{\in }X$-заданное на $X$ нечеткое множество, описывающее возможные значения нечеткой переменной.

Пример. Нечеткая переменная, описывающая скорость движения объекта: < $\alpha \mathrm{=}$”примерно нулевая скорость движения объекта, $X\mathrm{=}\left(\mathrm{-}{x}_{\text{max}};x_{\text{max}}\right)$, $$ $A\mathrm{=}\left\{e^{\mathrm{-}{x}^2}\mathrm{/}x\right\},x\mathrm{\in }X$>.

Лингвистическая переменная является обобщением понятия нечеткой переменной и определяется кортежем параметров $\mathrm{\langle }\beta ,T,X,G,M\mathrm{\rangle }$, где:

• $\beta$ - название лингвистической переменной;
• $T$ – базовое терм-множество лингвистической переменной, состоящее из множества ее значений (термов), каждое из которых представляет собой название отдельной нечеткой переменной $\alpha$;
• $X$ – область определения нечетких переменных, названия которых составляют терм-множество лингвистической переменной;
• $G$ – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества и генерировать новые термы;
• $M$ – семантическая процедура, позволяющая преобразовывать значения лингвистических переменных, полученных процедурой $G$, в нечеткие переменные, путем формирования соответствующих нечетких множеств.

Пример. Пусть температура воды определяется с помощью понятий «малая температура», «средняя температура», «большая температура». При этом минимальная температура воды равна $0{}^{\mathrm{°}}C$, а максимальная – соответственно $\text{100}{}^{\mathrm{°}}C$. Формализация такого описания может быть проведена при помощи лингвистической переменной $\mathrm{\langle }\beta ,T,X,G,M\mathrm{\rangle }$, в кортеже которой:

• $\beta$ - ”температура воды”;
• $T$ – «малая температура», «средняя температура», «большая температура»;
• $X\mathrm{=}\left(0;\text{100}\right)$;
• $G$ – процедура образования новых термов с помощью языковых связок «И», «ИЛИ», а также модификаторов «ОЧЕНЬ», «НЕ», «СЛЕГКА» и т.д. (например, «не очень большая температура»);
• $M$ – процедура задания на $X\mathrm{=}\left(0;\text{100}\right)$ нечетких подмножеств, соответствующих понятиям «малая температура», «средняя температура», «большая температура», а также нечетких множеств для термов из $G\left(T\right)$ в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов ( $A\mathrm{\cap }B$ соответствует «И», $A\mathrm{\cup }B$соответствует «ИЛИ», $\stackrel{\_}{A}$ соответствует «НЕ», $\text{CON}\left(A\right)\mathrm{=}{A}^2$ соответствует «очень», $\text{DIL}\left(A\right)\mathrm{=}{A}^{0\text{.}5}$ соответствует «слегка» и т.д.).

Наряду с базовыми значениями лингвистической переменной (например, «малая температур»), возможны другие значения, зависящие от конкретного значения $x$ (например, «около $\text{50}{}^{\mathrm{°}}C$»). Такие значения лингвистической переменной удобно представлять в виде нечетких чисел.

При представлении различных термов тех или иных лингвистических переменных нечеткими числами рекомендуется придерживаться следующих правил:

Пример. Нечеткие числа «приблизительно один» и «приблизительно два», а также четыре основных алгебраических операции над ними ( + - * / ) будут выглядеть согласно рис 2.17.

Замечание. В самом общем случае принцип обобщения, составляющий основу нечеткой арифметики, задается соотношением ${\mu }_{f\left(A\right)}\left(y\right)\mathrm{=}\underset{x\mathrm{\in }E}{\text{sup}}F\left(\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_f\left(x,y\right)\right\}\right)$, где $F$ – функция, определяющая произвольную операцию пересечения. В современной теории нечетких множеств наиболее полно исследован комплекс операций, связанных с аксиоматическим введением операции пересечения вида $\mathrm{\forall }x\mathrm{\in }X{\mu }_{A\mathrm{\cap }B}\left(x\right)\mathrm{=}\text{min}\left\{{\mu }_A\left(x\right);{\mu }_B\left(x\right)\right\}$. Этот подход был заимствован из традиционной теории множеств. Однако в настоящее время ведутся разработки методов теории нечетких множеств, основанных на аксиоматике, базирующейся на операциях алгебраического и среднего геометрического пересечения:

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\in }X{\mu }_{A\mathrm{\cap }B}\left(x\right)\mathrm{=}{\mu }_A\left(x\right){\mu }_B\left(x\right)$, $\mathrm{\forall }x\mathrm{\in }X{\mu }_{A\mathrm{\cap }B}\left(x\right)\mathrm{=}\sqrt{{\mu }_A\left(x\right){\mu }_B\left(x\right)}$,

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\in }X{\mu }_{A\mathrm{\cap }B}\left(x\right)\mathrm{=}{\mu }_A\left(x\right){\mu }_B\left(x\right)+\sqrt{{\mu }_A\left(x\right){\mu }_B\left(x\right)\left(1\mathrm{-}{\mu }_A\left(x\right)\right)\left(1\mathrm{-}{\mu }_B\left(x\right)\right)}$.

Все отмеченные альтернативные варианты введения операции пересечения нечетких множеств с определенной степенью точности соответствуют описанию классических операций над обычными множествами. Поэтому выбор того или иного подхода зависит от конкретной задачи, что в свою очередь позволяет в разной степени учесть разнообразные смысловые оттенки лингвистических нечетких понятий и приводит к разным результатам при моделировании реальных процессов и управлении сложными динамическими системами.

Введенный принцип обобщения в сочетании с приведенными выше различными вариантами параметризованных операторов пересечения позволяет по аналогии с классической алгеброй, интегральным и дифференциальным исчислением ввести нечеткие числа, операции интегрирования и дифференцирования нечетких функций, нечеткие алгебраические, интегральные и дифференциальные уравнения, нечеткую логику и нечеткие алгоритмы [26]-[28]. Это, возможно, позволит разработать нечеткие аналоги различных математических методов, базирующихся на классической теории множеств, что, допустим применительно к ТАУ, весьма актуально в свете постановки вопросов устойчивости и оптимальности систем автоматического управления с нечеткими интеллектуальными регуляторами. Данная область применения теории нечетких множеств также находится в стадии разработки и еще ждет своих исследователей.